지롤라모 카르다노(1501~1576)는 이탈리아의 파비아에서 태어났다. 밀라노의 변호사였던 아버지에게서 수학과 기하학을 배웠다. 아버지는 카르다노가 변호사가 되기를 원했으나 1524년 파도바 대학에서 의학을 배운 후 의사가 되었다. 개업을 하면서도 수학, 천문학, 물리학을 공부하였으며 밀라노대학, 파비아대학, 볼로냐대학 등에서 제자들에게 의학과 수학을 가르치고 저술도 하였다.

그는 1539년 3차 방정식의 근의 공식을 발견한 니콜로 타르탈리아에게서 공식을 배웠고 또한 1543년 볼로냐대학 교수인 스키피오네 델 페로의 유작에서 3차 방정식의 근의 공식을 발견하였으며 이것을 더욱 발전시켰다. 카르다노는 아르스마그나(커다란 기법)이라는 책을 저술하였으며 여기에서 3차 방정식의 근의 공식과 허수(虛數)에 대하여 기술하였다. 그러나 허수를 최초로 소개한 학자는 허수의 아버지라 불리는 프랑스의 철학자이며 수학자인 르네 데카르트이다.

부정적인 의미를 가미하여 허수를 상상의 수(imaginary number)라고 불렀다. 후일 스위스의 수학자 레온 하트러 오일러는 허수를 로 이름을 정하였다. 허수는 a b(단 a, b는 실수, = )로 나타낸다. 실수에서는 수의 대소관계가 정해진다. 그러나 허수는 제곱을 하면 음수가 되는 수이므로 실제로 존재하지 않는 수이고 대소관계도 정할 수 없다. 따라서 카르다노는 허수는 실용적으로 사용할 방법은 없다고 하였으나 최근에 와서 현대과학이나 물리학에서는 허수가 매우 중요한 존재가 되었다.

지구상이나 우주에서 일어나는 여러 가지 설명하기 어려운 현상도 허수를 이용한 수학적인 공식이나 숫자로 나타낼 수 있게 되었다. 지금까지의 이론에 의하면 시간이 과거로 진행되는 경우 공간이 작아지면서 엄청난 에너지를 가지는 빅뱅 상태가 된다고 한다. 최근의 극미 세계의 현상이나 양자 역학에서 영국의 물리학자 스티븐 호킹이 주장하는 우주의 기원에 대한 물리 이론에 허수 시간이라는 이론이 등장하게 되었다. 호킹은 허수시간을 이용하는 경우에는 무에서도 우주가 탄생할 수 있다고 하였다. 여기서는 무한공간도 없고 강력한 에너지도 없는 상태를 말한다. 우주의 기원에서 빅뱅이 아닌 어떤 무의 상태에서도 우주가 탄생할 수 있다는 것을 의미한다. 허수를 이용하는 경우 지구나 우주에서 일어나는 설명하기 어려운 더 많은 여러 가지 현상을 수학적인 공식이나 숫자로 나타낼 수가 있게 된 것이다.

이상은 연세대학교 의과대학 강남세브란스 병원 흉부외과 의학박사 이두연 교수의 ‘수학 이야기’ 중 ‘허수는 존재하는가?’ 에 나오는 이야기이다. 이두연 교수는 진주 출신으로 손자들의 수학 교육을 위하여 고민하다가 직접 재미있는 이야기로 전개되는 책을 출판했다. 올해부터 수학 교과서도 스토리텔링 형식으로 개편되어 생활 속의 수학 이야기가 많이 등장할 것으로 생각한다. 우리나라에서 처음으로 뽑힌 이공계 출신의 대통령께서 자연과학에 대한 남다른 애정을 기대해 본다.

/김용수·김용수수학학원 원장