223. 토너먼트와 리그전
<김용수의 생활 속 수학이야기>
2014-10-01 경남일보
인천 아시안게임의 폐막이 얼마 남지 않았다. 선수들이 최선을 다하는 모습 자체가 금메달감이다. 특정 국가의 메달 독주를 막기 위해 경기방식이 일부 바뀌었다. 양궁이 대표적인 경우인데 아쉽다. 그러나 크게 보면 경기방식은 리그(league)전과 토너먼트(tournament) 두 가지이다.
12팀이 축구시합을 할 때 경기 수는 몇 가지일까? 토너먼트일 경우는 한 경기마다 한 팀이 탈락하고 승리한 팀만 다음 경기를 할 수 있다. 즉 매 경기마다 한 팀이 탈락하므로 총 참가팀 수에서 1을 뺀 수가 구하는 경기수이다. 따라서 12팀이 경기하여 마지막 승자 한 팀이 남으려면 11팀이 탈락되어야 하므로 11경기를 해야 한다.
그리고 예선전에서 부전승의 행운을 얻는 팀은 몇 팀이 될까. 두 팀일 땐 없고, 세 팀이면 한 팀은 부전승을 얻어 두 경기만 하면 된다. 네 팀이 참가하면 두 조로 나누고 부전승 팀은 없고 세 게임만 치르면 된다. 다섯 팀이 참가하면 크게 두 조로 나누어 한 조는 두 팀 한 조는 세 팀이 된다. 세 명인 한 조에 부전승 한 팀이 생기므로 다른 조는 자동으로 부전승 두 팀이 생긴다. 따라서 부전승 팀은 모두 세 팀이다. 여섯 팀이 참가하면 두 조로 나누면 부전승 2팀이 생긴다. 일곱 팀이 참가하면 1팀이 생기고 여덟 팀이 참가하면 팀이 생기지 않는다.
여기서 규칙을 살펴보면 2, 4, 8, 16, 32 등 2의 거듭제곱에 해당되는 수일 때는 부전승 팀이 생기지 않음을 알 수 있다. 2의 거듭제곱 수가 아닐 때에는 참가팀 수보다 바로 큰 2의 거듭제곱 수에서 참가팀 수를 빼면 부전승 팀의 수가 된다. 예를 들어 위와 같이 12팀인 경우는 16에서 12를 빼면 4팀이 되고 27팀이 참가하면 32에서 27을 뺀 5팀이 부전승 팀의 수이다. 대진표도 이 원리를 이용하면 쉽게 만들어 그릴 수 있고, 수학 또는 체육시험 문제로 자주 출제되고 실생활에서 많이 접할 수 있다.
다음은 리그전인 경우를 생각해보자. 12팀이 참가하여 모든 팀이 다른 팀과 한 경기씩을 하여야 끝이 난다. 따라서 첫 번째 팀은 11경기를 하고 두 번째 팀은 10경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 계산하면 10번째 팀은 2번 11번째 팀은 나머지 12번째 팀과 한 경기를 치르면 모든 경기가 끝난다. 따라서 총 경우의 수는 1부터 11까지 더한 66가지 경우다.
여기서 규칙을 알아보자. 만약 참가팀 수를 n이라면 첫 번째 팀은 (n-1)팀과 경기를 하고, 두 번째 팀은 (n-2)팀과 경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 마지막 팀까지 계산하면 1부터 (n-1)까지 더하면 된다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 8팀이 참가하면 1부터 7까지 더하면 되고 8명이 악수를 하는 총 경우의 수와 같고 초등학교 저학년 수학 경시대회 문제로도 자주 출제된다. 원리를 생각하고 규칙을 찾아 공식을 이해하는 것이 수학공부의 방법임을 알게 하는 좋은 예이다.
12팀이 축구시합을 할 때 경기 수는 몇 가지일까? 토너먼트일 경우는 한 경기마다 한 팀이 탈락하고 승리한 팀만 다음 경기를 할 수 있다. 즉 매 경기마다 한 팀이 탈락하므로 총 참가팀 수에서 1을 뺀 수가 구하는 경기수이다. 따라서 12팀이 경기하여 마지막 승자 한 팀이 남으려면 11팀이 탈락되어야 하므로 11경기를 해야 한다.
그리고 예선전에서 부전승의 행운을 얻는 팀은 몇 팀이 될까. 두 팀일 땐 없고, 세 팀이면 한 팀은 부전승을 얻어 두 경기만 하면 된다. 네 팀이 참가하면 두 조로 나누고 부전승 팀은 없고 세 게임만 치르면 된다. 다섯 팀이 참가하면 크게 두 조로 나누어 한 조는 두 팀 한 조는 세 팀이 된다. 세 명인 한 조에 부전승 한 팀이 생기므로 다른 조는 자동으로 부전승 두 팀이 생긴다. 따라서 부전승 팀은 모두 세 팀이다. 여섯 팀이 참가하면 두 조로 나누면 부전승 2팀이 생긴다. 일곱 팀이 참가하면 1팀이 생기고 여덟 팀이 참가하면 팀이 생기지 않는다.
여기서 규칙을 살펴보면 2, 4, 8, 16, 32 등 2의 거듭제곱에 해당되는 수일 때는 부전승 팀이 생기지 않음을 알 수 있다. 2의 거듭제곱 수가 아닐 때에는 참가팀 수보다 바로 큰 2의 거듭제곱 수에서 참가팀 수를 빼면 부전승 팀의 수가 된다. 예를 들어 위와 같이 12팀인 경우는 16에서 12를 빼면 4팀이 되고 27팀이 참가하면 32에서 27을 뺀 5팀이 부전승 팀의 수이다. 대진표도 이 원리를 이용하면 쉽게 만들어 그릴 수 있고, 수학 또는 체육시험 문제로 자주 출제되고 실생활에서 많이 접할 수 있다.
다음은 리그전인 경우를 생각해보자. 12팀이 참가하여 모든 팀이 다른 팀과 한 경기씩을 하여야 끝이 난다. 따라서 첫 번째 팀은 11경기를 하고 두 번째 팀은 10경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 계산하면 10번째 팀은 2번 11번째 팀은 나머지 12번째 팀과 한 경기를 치르면 모든 경기가 끝난다. 따라서 총 경우의 수는 1부터 11까지 더한 66가지 경우다.
여기서 규칙을 알아보자. 만약 참가팀 수를 n이라면 첫 번째 팀은 (n-1)팀과 경기를 하고, 두 번째 팀은 (n-2)팀과 경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 마지막 팀까지 계산하면 1부터 (n-1)까지 더하면 된다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 8팀이 참가하면 1부터 7까지 더하면 되고 8명이 악수를 하는 총 경우의 수와 같고 초등학교 저학년 수학 경시대회 문제로도 자주 출제된다. 원리를 생각하고 규칙을 찾아 공식을 이해하는 것이 수학공부의 방법임을 알게 하는 좋은 예이다.