[수학이야기] 231. 사다리 타기

<김용수의 생활속 수학이야기>

우리나라 직장인들의 점심식사 내기 게임으로 유명한 사다리 게임은 어떻게 해서 아무렇게나 선을 그어도 중복되지 않고 맞아떨어지는지 궁금하게 여기는 사람이 많다. 사다리 타기는 함수이며 일대일 대응관계로 사다리타기의 시작점 하나와 끝점 하나가 서로 대응된다. 간단히 설명하면 두 세로줄 사이에 가로줄 하나가 있으면 그 두 사람의 위치만 바뀌어 내려가는 원리니까 가로줄이 생길 때마다 세로줄의 두 사람의 위치만 바뀔 뿐 일대일 대응관계는 계속 유지되기 때문에 중복되는 경우는 생기지 않는다. 다음과 같은 실험내용이 있다.

사다리타기 참가자는 모두 4명으로 인원의 2배수인 8개의 세로선을 긋고 선을 두 번씩 타기로 했다 별표를 선택한 사람이 당첨자로 책정이 되며 그는 편의점에 심부름을 다녀와야 한다. 당신은 사다리타기에서 몇 번을 찍고 싶은가. 어떤 조작도 하지 않았고 매우 공정하게 보인다. 그런데 과연 실제로도 공정할까. 별다른 생각을 하지 않고 직감에만 의존해서 번호를 찍는다면 내기에서 이길 확률은 낮다.

사다리타기의 규칙에 따라 번호찍기를 1000번 반복하고 시뮬레이션을 해보면 당첨확률이 가장 높은 번호는 4번이다. 4는 1000번 중 210번이 걸리는데 당첨확률이 21%에 달한다. 다음으로 바로 오른쪽인 5번이 19.4%의 확률로 당첨되며 다음이 3번이다. 맨 오른쪽 끝의 8번은 3.3%에 불과하고 맨 앞쪽은 8.1%로 당첨확률이 매우 낮다. 하지만 이상하게 사람들은 사다리타기를 하면 양쪽 끝선을 가장 먼저 선택하는 경우가 거의 없다. 사다리타기는 모두가 공평하게 4분의 1, 즉 25% 확률로 당첨될 것이라고 생각한다.

하지만 양쪽 끝의 번호 1번과 8번을 선택한 사람이 편의점에 갈 확률은 11.4%밖에 되지 않는다. 4번과 5번을 고르는 사람은 심부름꾼이 될 확률이 40.4%나 된다. 사다리타기의 확률을 알지 못한다면 “요즘은 왠지 운이 따라주지 않네”라며 심부름을 다녀올 것이다. 확률에 대해 조금이라도 알고 있다면 양쪽 끝의 숫자를 택하는 게 좋다. 사다리타기를 간단한 그림으로 실험을 몇 번 해보면 원리를 쉽게 발견할 수 있다. 요즘은 스마트폰으로 사다리 게임을 즐기는 세상이 됐다. 수학적 원리도 이해하고 공짜로 점심도 먹을 수 있도록 당장 사다리타기를 연습해 보자.

김용수·김용수수학학원 원장

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