218. 랑체스터의 법칙

<김용수의 생활 속의 수학이야기>

제1차 세계대전 중 공중전의 자료를 기초로 하여 비행기의 수와 격추된 손해양의 관계로부터 만든 법칙으로 제2차 세계대전 때 태평양의 섬들에서 일본군을 크게 괴롭혔다고 하는데 이 법칙은 전쟁뿐 아니라 판매전략에도 이용되고 있다. 랑(렌)체스터의 제1법칙은 ‘1대 1의 법칙’이라고 한다. 이것은 1:1의 대결을 주체로 한 것으로 어느 시점에 있어 초기 병력수를 M으로 하고 어떤 전투시간 후의 아군의 잔존 병력수를 m으로 한다. 이때 적의 초기 병력을 N으로 하고 어떤 전투시간 후의 병력수를 n으로 할 때 M-m=E(N-n)가 성립하며 E는 교환비(exchange rate)라 불리는데 병기의 우수성이라든가 훈련에 의한 평균된 힘의 비로서 정수로 나타내어진다. E가 1일 때, 즉 병기도 훈련도 같은 수준의 것이면 적과 아군 모두 1대 1로 전사된다는 것이다. 만약 M>N이면 아군이 꼭 승리하게 되고 살아남는다는 것이다. 도요토미 히데요시는 이 법칙을 철저하게 이용하였다고 한다. 그는 텐세이 12년에 도쿠가와 이에야스, 오다노부오의 연합군을 고마키에서 싸웠을 때 적의 병력수가 아군보다 훨씬 많다는 정보를 입수하고서는 휴전을 제안하였고, 그후 아군의 숫자가 적군보다 많았을 때 전투하여 승리, 천하통일을 하였다.

랑체스터의 제2법칙은 ‘집중효과의 법칙’이라고 불리는데 1대 1의 대결의 법칙보다 종합적인 힘을 중요시하여 M²- m²=E(N²- n)의 관계식이 성립하고 E는 병기의 질의 비를 의미한다. 즉 ‘원거리 타격능력을 가진 병종끼리의 전투일 때는 수의 제곱에 비례한다’는 것이다. 예를 들어 지금 최신의 자동소총을 가진 한 사람의 병사가 소총을 가진 16사람을 상대하여 싸운다고 하자. 자동소총의 발사속도가 소총의 16배라고 하면 적어도 무승부가 된다고 생각할 수가 있다. 하지만 제2법칙에 적용하면 16²- M²=E(1²- 0)가 되므로 E=16으로 하여도 m =15.5가 되어 한사람에게만 부상을 입히게 되는 것이다. 그런데 4인의 자동소총을 들고 있는 병사와 대결하면 m=0이 되어 아군과 비기게 되는 것을 알 수가 있다. 가령 같은 성능을 무기를 가진 100인과 50인이 서로를 향하여 쏠 때 50인 측이 전멸하여도 100인 측은 13인밖에 쓰러지지 않는 것이 되어 종합적인 힘을 채용할 수 있는 경우에는 채용하는 병력의 우위차가 크게 영향을 미치는 것을 알 수가 있다. 태평양전쟁에서는 이 물량의 차가 일본군의 소모를 배가시켜 미군을 유리하게 이끌었던 것이다.

북한의 군사훈련과 중국과 일본의 해상군사력 증강으로 인하여 휴전선과 바다 가까이에 거주하는 국민들은 긴장상태로 불안감을 느끼고 있다. 랑체스트의 제2법칙에 의하면 최첨단 무기는 전쟁을 승리로 이끄는 확실한 해답을 제공해 준다. 국민의 안전한 행복은 전쟁으로부터 해방될 때 보장될 것이니 우리 정부는 매년 감소해 왔던 국방비를 이번 기회에 한 번 더 신중히 생각해 보아야 할 시점에 온 것이 아닌가 생각해 본다.

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