<김용수의 생활 속 수학이야기>
인천 아시안게임의 폐막이 얼마 남지 않았다. 선수들이 최선을 다하는 모습 자체가 금메달감이다. 특정 국가의 메달 독주를 막기 위해 경기방식이 일부 바뀌었다. 양궁이 대표적인 경우인데 아쉽다. 그러나 크게 보면 경기방식은 리그(league)전과 토너먼트(tournament) 두 가지이다.
12팀이 축구시합을 할 때 경기 수는 몇 가지일까? 토너먼트일 경우는 한 경기마다 한 팀이 탈락하고 승리한 팀만 다음 경기를 할 수 있다. 즉 매 경기마다 한 팀이 탈락하므로 총 참가팀 수에서 1을 뺀 수가 구하는 경기수이다. 따라서 12팀이 경기하여 마지막 승자 한 팀이 남으려면 11팀이 탈락되어야 하므로 11경기를 해야 한다.
그리고 예선전에서 부전승의 행운을 얻는 팀은 몇 팀이 될까. 두 팀일 땐 없고, 세 팀이면 한 팀은 부전승을 얻어 두 경기만 하면 된다. 네 팀이 참가하면 두 조로 나누고 부전승 팀은 없고 세 게임만 치르면 된다. 다섯 팀이 참가하면 크게 두 조로 나누어 한 조는 두 팀 한 조는 세 팀이 된다. 세 명인 한 조에 부전승 한 팀이 생기므로 다른 조는 자동으로 부전승 두 팀이 생긴다. 따라서 부전승 팀은 모두 세 팀이다. 여섯 팀이 참가하면 두 조로 나누면 부전승 2팀이 생긴다. 일곱 팀이 참가하면 1팀이 생기고 여덟 팀이 참가하면 팀이 생기지 않는다.
여기서 규칙을 살펴보면 2, 4, 8, 16, 32 등 2의 거듭제곱에 해당되는 수일 때는 부전승 팀이 생기지 않음을 알 수 있다. 2의 거듭제곱 수가 아닐 때에는 참가팀 수보다 바로 큰 2의 거듭제곱 수에서 참가팀 수를 빼면 부전승 팀의 수가 된다. 예를 들어 위와 같이 12팀인 경우는 16에서 12를 빼면 4팀이 되고 27팀이 참가하면 32에서 27을 뺀 5팀이 부전승 팀의 수이다. 대진표도 이 원리를 이용하면 쉽게 만들어 그릴 수 있고, 수학 또는 체육시험 문제로 자주 출제되고 실생활에서 많이 접할 수 있다.
다음은 리그전인 경우를 생각해보자. 12팀이 참가하여 모든 팀이 다른 팀과 한 경기씩을 하여야 끝이 난다. 따라서 첫 번째 팀은 11경기를 하고 두 번째 팀은 10경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 계산하면 10번째 팀은 2번 11번째 팀은 나머지 12번째 팀과 한 경기를 치르면 모든 경기가 끝난다. 따라서 총 경우의 수는 1부터 11까지 더한 66가지 경우다.
여기서 규칙을 알아보자. 만약 참가팀 수를 n이라면 첫 번째 팀은 (n-1)팀과 경기를 하고, 두 번째 팀은 (n-2)팀과 경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 마지막 팀까지 계산하면 1부터 (n-1)까지 더하면 된다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 8팀이 참가하면 1부터 7까지 더하면 되고 8명이 악수를 하는 총 경우의 수와 같고 초등학교 저학년 수학 경시대회 문제로도 자주 출제된다. 원리를 생각하고 규칙을 찾아 공식을 이해하는 것이 수학공부의 방법임을 알게 하는 좋은 예이다.
12팀이 축구시합을 할 때 경기 수는 몇 가지일까? 토너먼트일 경우는 한 경기마다 한 팀이 탈락하고 승리한 팀만 다음 경기를 할 수 있다. 즉 매 경기마다 한 팀이 탈락하므로 총 참가팀 수에서 1을 뺀 수가 구하는 경기수이다. 따라서 12팀이 경기하여 마지막 승자 한 팀이 남으려면 11팀이 탈락되어야 하므로 11경기를 해야 한다.
그리고 예선전에서 부전승의 행운을 얻는 팀은 몇 팀이 될까. 두 팀일 땐 없고, 세 팀이면 한 팀은 부전승을 얻어 두 경기만 하면 된다. 네 팀이 참가하면 두 조로 나누고 부전승 팀은 없고 세 게임만 치르면 된다. 다섯 팀이 참가하면 크게 두 조로 나누어 한 조는 두 팀 한 조는 세 팀이 된다. 세 명인 한 조에 부전승 한 팀이 생기므로 다른 조는 자동으로 부전승 두 팀이 생긴다. 따라서 부전승 팀은 모두 세 팀이다. 여섯 팀이 참가하면 두 조로 나누면 부전승 2팀이 생긴다. 일곱 팀이 참가하면 1팀이 생기고 여덟 팀이 참가하면 팀이 생기지 않는다.
여기서 규칙을 살펴보면 2, 4, 8, 16, 32 등 2의 거듭제곱에 해당되는 수일 때는 부전승 팀이 생기지 않음을 알 수 있다. 2의 거듭제곱 수가 아닐 때에는 참가팀 수보다 바로 큰 2의 거듭제곱 수에서 참가팀 수를 빼면 부전승 팀의 수가 된다. 예를 들어 위와 같이 12팀인 경우는 16에서 12를 빼면 4팀이 되고 27팀이 참가하면 32에서 27을 뺀 5팀이 부전승 팀의 수이다. 대진표도 이 원리를 이용하면 쉽게 만들어 그릴 수 있고, 수학 또는 체육시험 문제로 자주 출제되고 실생활에서 많이 접할 수 있다.
다음은 리그전인 경우를 생각해보자. 12팀이 참가하여 모든 팀이 다른 팀과 한 경기씩을 하여야 끝이 난다. 따라서 첫 번째 팀은 11경기를 하고 두 번째 팀은 10경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 계산하면 10번째 팀은 2번 11번째 팀은 나머지 12번째 팀과 한 경기를 치르면 모든 경기가 끝난다. 따라서 총 경우의 수는 1부터 11까지 더한 66가지 경우다.
여기서 규칙을 알아보자. 만약 참가팀 수를 n이라면 첫 번째 팀은 (n-1)팀과 경기를 하고, 두 번째 팀은 (n-2)팀과 경기를 하여야 한다. 같은 방법으로 마지막 팀까지 계산하면 1부터 (n-1)까지 더하면 된다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 8팀이 참가하면 1부터 7까지 더하면 되고 8명이 악수를 하는 총 경우의 수와 같고 초등학교 저학년 수학 경시대회 문제로도 자주 출제된다. 원리를 생각하고 규칙을 찾아 공식을 이해하는 것이 수학공부의 방법임을 알게 하는 좋은 예이다.
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